Elaboración de Material Didactico: 2012

Coordenadas Rectangulares.

Abscisa y ordenada.

Las coordenadas cartesianas o rectangulares son un sistema de coordenadas formadas por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen. El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados.

Es importante saber entonces que:

Ejes: son líneas de referencia para hacer gráficos. Generalmente, uno de los ejes es una línea horizontal llamado eje de abscisa y la otra, una línea vertical llamado eje de ordenadas. Los ejes horizontales y verticales son perpendiculares el uno al otro.

Eje de la Ordenadas: es la línea numerada que se usa para registrar o leer los valores y puntos de un gráfico. El eje de ordenadas es usualmente el eje vertical.

Eje de las abscisas: es la línea numerada que se usa para registrar o leer el valor de x de puntos en un gráfico. El eje de la abscisa es usualmente el eje horizontal.

Representación gráfica de puntos.

Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las x y uno de las y, respectivamente, esto indica que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con base en sus coordenadas, lo cual se representa como en la siguiente figura:

Figura 1. Plano cartesiano

Asociaremos a un punto A en el plano, un par ordenado de números reales (x, y), de los cuales, el primero, x, es el punto en el eje x intersectado por una recta vertical que pasa por el punto A; y el segundo de los números, y, es el punto en el eje y, intersectado por una recta horizontal que pasa por el punto A. Al par ordenado (x, y) lo llamamos las coordenadas de A y a cada uno de los números en el par ordenado lo llamamos un componente o coordenada. El orden en que escribiremos los componentes del par ordenado es muy importante. En el dibujo previo se puede apreciar que las coordenadas (1, 2) corresponden a un punto distinto del que corresponde a las coordenadas (2, 1).

Para cada par de números reales (x, y), existe solamente un punto en el plano que le corresponde y; recíprocamente, para cada punto en el plano existe sólo un par ordenado (x, y) que le corresponde. Por eso decimos, que existe una correspondencia “uno a uno” entre los puntos del plano y los pares ordenados de números reales.

Este sistema está formado por dos rectas o ejes, perpendiculares entre sí, generalmente un eje es horizontal y el otro vertical, que al intersectarse forman ángulos rectos y dividen al plano donde están contenidos, en cuatro partes llamados cuadrantes, las cuales se enumeran en el sentido contrario de las manecillas del reloj, como se muestra en la Figura 2. Al cuadrante que está arriba del eje x y a la derecha del eje y lo llamamos el cuadrante uno (cuadrante I). Al cuadrante a la izquierda del cuadrante uno lo llamamos el cuadrante dos (cuadrante II). Debajo del cuadrante dos está el cuadrante tres (cuadrante III). A la derecha del cuadrante III está el cuadrante cuatro (cuadrante IV).

Considerando que cada eje es una recta numérica que contienen todos los números reales en forma creciente de izquierda a derecha en el eje horizontal y de abajo a arriba en el eje vertical, todos los números positivos están a la derecha y arriba del origen y los negativos a la izquierda y abajo del mismo origen.

Figura 2. Numeración de los cuadrantes del sistema de ejes cartesianos

Por tanto, para todos los puntos del cuadrante I ambas coordenadas son positivas; para los puntos del cuadrante II, la coordenada x es negativa y la y es positiva. En el cuadrante III ambas coordenadas son negativas y en el cuadrante IV la coordenada x es positiva y la coordenada y es negativa.

Sobre los ejes se marcan divisiones que corresponden a números enteros, siendo el cero el punto de intersección de dichos ejes llamado Origen de las Coordenadas.

En el plano, las coordenadas cartesianas o rectangulares

x

y

se denominan respectivamente abscisa y ordenada. Es decir que las coordenadas de un punto P son P(x,y), las cuales se anotan como parejas ordenadas dentro de un paréntesis y separadas por una coma.

En resumen, para trazar un punto en el plano cartesiano, debes trazar una paralela al eje y para obtener el punto de x y una paralela a x para obtener el punto de y, y el punto de intersección es la coordenada deseada.

Para reforzar el tema se te invita a ver el siguiente video.

Ejemplo:

Trazar un sistema de coordenadas rectangulares y señalar los puntos siguientes: A ( 4 , 3 ) ,B ( - 1, 5 ) ,C ( - 3 , - 2 ) ,D ( 6 , - 4 ) y trazar además, el segmento de recta que une los puntos E ( - 3 , - 1) con F ( 5 , 6 ) .

SOLUCIÓN

La

Ejercicios:

Desarrolla los siguientes ejercicios en clase y utiliza hojas milimatricas para realizar el

trazo de tus coordenadas rectangulares.

1.- Indica los cuadrantes en que se encuentran las coordenadas,

      (1, 2), (2, 1), (-3, 4), (4, -3), (-3, -2)

2.- Dibuja en gráfico cartesiano y ubica los siguientes puntos:

   A (-2, 5)

   B (-8,-4)

   C (-6, 4)

   D (4, 5)

   E (0,-1)

   F (2, 6)

   G (5,-3)

   H (0, 6)

   I (-3, 0)

  J (4, 9)

K (3,3)

L (-3,-3)

M (-3,3)

N (3,-3)

3.- La siguiente tabla muestra los valores de producción de una microempresa durante el año 2008. Elabora un plano cartesiano y traza los puntos de la tabla.

Producción (y)

Mes (x)

5000

2

3000

3

4000

4

3500

5

6000

6

7000

7

1500

8

2700

9

1700

10

8000

11

9500

12

      10000

13

Figura muestra la ubicación gráfica de los puntos dados, así como la recta pedida.

Pares Ordenados

Este video complementa los conocimientos sobre pares ordenados mediante un ejemplo práctico.

Te invito a verlo

Relaciones y Funciones

En el quehacer cotidiano manejamos relaciones entre distintas magnitudes, como tus calificaciones, las cuales dependen de varios factores como exámenes, tareas, trabajos, etc.; la cantidad de comida que consumes depende de tu peso, talla, edad, etc. De igual forma existen otros tipos de dependencias entre variables de la vida cotidiana y las más importantes para su estudio son las Relaciones y Funciones.

Variables dependientes.

Son todas las variables cuyo resultado no es “autónomo” ya que depende de otras tomadas como referencia. Generalmente se le asigna la letra y; cabe aclarar que es posible asignarle otras letras a estas variables las cuales correspondan al tipo de variables analizadas.

y=Calificaciones

Variables independiente.

Son todas las variables cuyo resultado es “autónomo” y son usadas como referencia para calcular otras (las dependientes). Generalmente se le asigna la letra x; cabe aclarar que es posible asignarle otras letras a estas variables las cuales correspondan al tipo de variables analizadas.

x₁= exámenes

x₂= tareas

x₃= trabajos

R Relaciones.

Cualquier correspondencia entre dos variables se conoce como una relación, con la característica de que no importa cuántos valores de la variable dependiente (y) le corresponden a la variable independiente (x). Por lo tanto, puedes asignar dos o más valores de y a los valores de x.

Dentro de las relaciones podemos encontrar correspondencias muy específicas conocidas como funciones.

Funciones.

Una función es una relación que asocia a cada elemento x de un conjunto D un único elemento y = f(x) de otro conjunto R, mediante una regla determinada.

Una función es una correspondencia entre números. Mediante la función f a cada número x se le hace corresponder un sólo número que se representa por f(x). Puesto que tanto x como f(x) pueden tomar diversos valores se les denomina variables. A x se le llama variable independiente y a f(x) variable dependiente. El conjunto de valores que puede tomar la variable independiente se llama dominio o dominio de definición de la función.

Una ecuación con dos incógnitas x e y puede servir para definir una función, siempre que para cada valor de x, la ecuación tenga una sola solución para y. Por ejemplo, la ecuación x+y = 3 define una función (a cada valor de x esta ecuación se le hace corresponder un sólo valor de y). Sin embargo, la ecuación y²+x = 10 no define una función pues para algunos valores de x existen dos soluciones de y.

Mediante una curva y ejes de coordenadas también puede definirse una función. A cada valor de la abscisa x se le puede asociar la ordenada del punto de la curva que tiene esa abscisa. Si hay dos puntos de la curva que tienen la misma abscisa, esa curva no define una función. Por ejemplo, una recta no paralela al eje de ordenadas, define una función; por el contrario, una circunferencia o una elipse no definen funciones. La curva asociada a una función se llama representación gráfica de la función.

Si las infinitas soluciones de una ecuación con dos incógnitas “x” e “y” las consideramos como coordenadas de puntos, el conjunto de todos estos puntos forma una curva. Recíprocamente, la condición que cumplen todos los puntos de una curva se llama ecuación de la curva. Para la función f, su representación gráfica es una curva cuya ecuación es y = f(x).

y=calificaciones

x₁= exámenes

x₂= tareas

x₃= trabajos